Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium
LátogatókÖsszes: 6 076 786 Mai: 4 107 HonlapokSULINET Matematika Oktatási Hivatal Versenyvizsga portál Matematika Portálok |
1. találat: Vegyes feladatok: VF_000001 Témakör: *Algebra (egyenlet, paraméter) (Azonosító: VF_000001 ) Az $a$, $b$, $c$, $d$ számok milyen értékei mellett van megoldása, és hányféle megoldása van az $ \begin{array}{l} x+y=a,\quad \quad \quad \quad z+u=c, \\ y+z=b,\quad \quad \quad \quad u+x=d \\ \end{array} $ egyenletrendszernek? Témakör: *Kombinatorika (gráfelmélet, Ramsey-tétel R(3,3)) (Azonosító: VF_000002 ) Bizonyítsuk be, hogy hattagú társaságnak mindig van vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen ismerik egymást, vagy három olyan, akik kölcsönösen nem ismerik egymást. Témakör: *Kombinatorika (geometria, lefedés) (Azonosító: VF_000003 ) Egy körlapot fele akkora átmérőjű körlapokkal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg legkevesebb számú körlappal? Témakör: *Algebra (egyenlőtlenség, tört) (Azonosító: VF_000004 ) Az $x$ változó, mely értékeire teljesül az $ \dfrac{x-1}{x-2}<\dfrac{x+3}{x} $ egyenlőtlenség? Témakör: *Algebra (egyenlet, triginimetria) (Azonosító: VF_000005 ) Oldjuk meg az $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1}{2}$ egyenletet. Témakör: *Geomtria (mértani hely) (Azonosító: VF_000006 ) Egy egyenlőszárú trapézt vágjunk ketté az egyik átlójával. Az egyik levágott háromszöget csúsztassuk a síkban úgy, hogy a háromszög két csúcsa továbbra is a másik háromszöget határoló két trapézoldalon vagy meghosszabbításukon mozogjon. Milyen pályán mozog e közben a harmadik csúcs? Témakör: *Algebra (polinom, ötödfokú) (Azonosító: VF_000007 ) Hozzuk egyszerűbb alakra az $ \dfrac{\left( {x+y} \right)^5}{xy\left( {x^2+xy+y^2} \right)}-\dfrac{x^4}{y\left( {x^2+xy+y^2} \right)}-\dfrac{y^4}{x\left( {x^2+xy+y^2} \right)} $ kifejezést. Témakör: *Geometria (magasság, tükrözés) (Azonosító: VF_000008 ) Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög magassági pontjának az oldalak felezőpontjára vonatkozó tükörképei a háromszög köré írt körön vannak. Témakör: *Algebra (egyenlet) (Azonosító: VF_000009 ) Az $a$, $b$, $c$, $d$ számok milyen értékei mellett van megoldása, és hányféle megoldása van az $ \begin{array}{l} x+y=a,\quad \quad \quad \quad z+u=c, \\ y+z=b,\quad \quad \quad \quad u+x=d \\ \end{array} $ egyenletrendszernek? Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000010 ) Hozzuk lehető legegyszerűbb alakra az $\dfrac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)}+\dfrac{1}{\left( {y-x} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)}+\dfrac{1}{\left( {z-x} \right)\left( {z-y} \right)\left( {z-1} \right)}$ (D) kifejezést. Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000011 ) Az $n$ szám mely pozitív egész értékeire osztható és melyekre nem osztható $ 2^7-2$-vel az $ n^7-n $ kifejezés? Témakör: *Geometria (kör, szelő, hatvány) (Azonosító: VF_000012 ) Rajzoljunk egy kört, húzzunk egy egyenest és tűzzünk ki az egyenesen két pontot. Szerkesszük meg az egyenesen azt a pontot, amely körül elforgatható az egyenes úgy, hogy mindkét kitűzött pont egyidejűleg a körre kerüljön. Témakör: *Geometria (kör) (Azonosító: VF_000013 ) Adva van egy távolság, egy kör és ennek belsejében a $P$ pont. Szerkesztendő az adott körnek olyan AB húrja, mely a $P$ ponton áthalad és amelyre vonatkozóan az AP és BP szakaszok különbsége az adott távolsággal egyenlő. Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000014 ) Hozzuk legegyszerűbb alakra az $ \dfrac{\left( {x^2-y^2} \right)^3+\left( {y^2+z^2} \right)^3+\left( {z^2+x^2} \right)^3}{\left( {x-y} \right)^3+\left( {y-z} \right)^3+\left( {z-x} \right)^3} $ kifejezést. Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet) (Azonosító: VF_000015 ) Egy üzemben 40 munkás sztahanovista munkamódszerre tér át. Ezáltal az üzem termelése 20%-kal emelkedik. Ha az első sztahanovistákkal együtt a munkásoknak összesen 60%-a tér áat az új munkamódszerre, akkor ezáltal az üzem termelése az eredeti termelésnek két és félszeresére növekszik. Kérdés, hány munkás van az üzemben és hányszorosra emelkedik az üzem termelése, ha valamennyi munkás megtanulja az új munkamódszert? Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet) (Azonosító: VF_000016 ) $A$ és $B$ 5000 méteres távon versenyt futnak. Az első kísérletnél a 1 km előnyt ad $B$-nek és 1 perccel előbb ér célba. A második kísérletnél A 8 perc előnyt ad és 1 km-re van még a céltól, mikor $B$ célba ér. Hány perc alatt futja be$ A$ és mennyi alatt $B$ az 5000 méteres távot? (Feltesszük, hogy a két versenyben nem változik a futók átlagsebessége.) Témakör: *Számelmélet (polinom, oszthatóság) (Azonosító: VF_000017 ) Bizonyítsuk be, hogy bármilyen egész szám is n $ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right) $ mindig osztható 24-gyel. Témakör: *Geometria (kör, érintő) (Azonosító: VF_000018 ) Szerkesszünk háromszöget, ha adott a háromszög köré írt kör sugara, az oldalakat belülről érintő kör sugara és a háromszög egyik szöge. Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000019 ) Számítsuk ki $\left( {x+y+z} \right)^2$ értékét, ha $ 2x\left( {y+z} \right)=1+yz, \quad \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{2}{3}$ és $x+y+\dfrac{1}{2}=0.$ Témakör: *Algebra (számelmélet, oszthatóság) (Azonosító: VF_000020 ) Melyik az a legkisebb 4-gyel végződő természetes szám, melynek utolsó jegyét a szám elé írva, az eredeti szám négyszeresét kapjuk? Témakör: *Geometria (trapéz, kör, érintő) (Azonosító: VF_000021 ) Bizonyítandó, hogy trapézba akkor és csak akkor írható az oldalakat érintő kör, ha a szárak, mint átmérők fölé írt körök érintkeznek. Témakör: *Algebra (számelmélet) (Azonosító: VF_000022 ) Meghatározandó az x, y, z, u, v számjegyek értéke úgy, hogy a tízes számrendszerben felírt $x$ 61$y$ 064zuv szám osztható legyen 61875-tel. Témakör: *Geometria (trapéz, terület) (Azonosító: VF_000023 ) Egy kör AB és CD átmérői merőlegesek egymásra, a CE húr párhuzamos a BF húrral, $E$ ill. $F$ tükörképei CD-re vonatkozóan $H$ ill. $G$. Bizonyítandó, hogy az ABFG trapéz területe egyenlő CEH háromszög területével. Témakör: *Algebra (polinom) (Azonosító: VF_000024 ) Bizonyítsuk be, hogy ha $ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}, $ és n pozitív páratlan szám, akkor $ \dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}. $ Témakör: *Geometria (szerkesztés) (Azonosító: VF_000025 ) Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogó $c$ és tudjuk azt, hogy az átfogóhoz tartozó súlyvonal mértani középarányos a két befogó között. Témakör: *Algebra (egyenletrendszer) (Azonosító: VF_000026 ) Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $ \left( {x+y} \right)\left( {x^2+y^2} \right)=a $ $ \left( {x-y} \right)\left( {x^2-y^2} \right)=b $ Témakör: *Számelmélet (szám, soztó) (Azonosító: VF_000027 ) Két szám összege 173717. A két szám 4-jegyű különbségének törzstényezői között nincsen egyjegyű szám. Az egyik szám osztható 1558-cal. Melyik ez a két szám? Témakör: *Algebra (szöveges feladat, mozgás) (Azonosító: VF_000028 ) Két futó $\alpha $ és $\beta $ versenyt futnak egy körpályán. A táv egy kör, rajt és cél a $P$ pontban. Mikor $\alpha $ eléri a táv felét jelentő $Q$ pontot, $\beta $ 16 m-rel van mögötte. Egy későbbi időpontban a két futó helyzete tükrös a PQ átmérőre nézve. $ 1\dfrac{2}{15}$ másodperccel ezen időpont után $\beta $ eléri a $Q$ pontot és további $ 13\dfrac{13}{15}$ másodperc múlva $\alpha $ célba ér. Mekkora a futók sebesség és mekkora a táv? (Feltételezzük, hogy mind a két futó egyenletes sebességgel fut.) Témakör: *Geometria (szerkesztés, kör) (Azonosító: VF_000029 ) Adva van egy kör, továbbá 3 egyenes $a$, $b$, $i$, melyek közül $a$ és $b$ metszi a kört. Szerkesszünk $i$-vel párhuzamos oly egyeneseket, amelyek a másik két egyenes és a kört úgy metszik, hogy az egyik körmetszésponttól az egyik egyenesig terjedő szakasz egyenlő a másik körmetszésponttól a másik egyenesig terjedő szakasszal. Témakör: *Aégebra (polinom) (Azonosító: VF_000030 ) Az $ x^2+2xy+5y^2-6xz-22yz+16z^2 $ kifejezést alakítsuk át egy háromtagú, egy kéttagú és egy egytagú kifejezés teljes négyzetének algebrai összegére.
|
KeresésHonlapokKözépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok Wolfram Alpha Art of Problem Solving Kvant IMO |
|||||||||||||||||
|
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium
|
|
1082 Budapest, Horváth Mihály tér 8. OM azonosító: 035277 |
Joomla template: szsnjm4-001 (c) Szoldatics József 2011/2024
www.szolda.hu
www.szolda.hu